고장 나무 해석

Fault Tree Analysis(FTA)

6.2.1 FTA(고장나무분석)의 발전과 의의

• FTA(Fault Tree Analysis 고장나무분석)
  고장수(故障樹)분석 또는 결함수(缺陷樹)분석 이라고도 하며,
  FMEA나 FMECA와 마찬가지로 시스템의 고장해석 방법이며,
  FMEA나 FMECA와는 달리 고장나무분석 "FTA는 하향식(top-down)으로 분석"하는 방법이다.

• 정상사상으로부터 시스템의 고장을 야기하는 기본사상까지 원인과 인과관계를 논리게이트로
  표현한 그림으로 나타낸 고장나무(결함수)을 작성하고, 이에 의하여 시스템의 고장확률을
  구함으로써, 문제가 되는 부분을 찾아내어 시스템의 신뢰성을 평가·개선하는 계량적 고장 해석 및
  신뢰성평가 방법이다.

• FTA는 1962년 Bell전화연구소의 W. A. Watson에 의해 미니트맨 미사일의 발사제어 시스템 연구에
 관한 공군계약에서 처음 고안된 후, 1965년 Kolodner의 안전성 정량화에 대한 논문에서 FTA와
 신뢰성블록도(block diagram)등을 소개했고, 1965년 보잉항공회사의 D. F. Hassl에 의해 보완됨으로
 실용화가 되었으며, ICBM 계획에 처음으로 사용된 기법이다.

6.2.2 FTA 실시절차

• FTA를 실시하는 경우에 고장의 해석 목적이나 정도 등에 차이가 있지만,
  FTA의 실시 절차는 통상 다음과 같은 순서로 된다.

1)평가대상 설정 및 기능의 명확화 (기능블록 다이어그램 작성)
2)불량 사실·현상에 대한 정의의 명확화
3)톱 event(최상위 고장)의 상정
4)하위레벨의 논리기호에 의한 결합으로 고장나무 작성
5)기본사상인 최하위의 고장원인까지 고장나무 완성
6)정량적 평가를 위한 고장확률을 구함

(최하위인 기본사상에서부터 고위인 톱 event까지 고장확률을 계산)
① 먼저 최하위의 고장원인인 기본사상에 대한 고장확률을 추정한다.
② 기본사상에 중복이 있는 경우에는 “불(Bool)대수 공식”에 의거 고장나무를 간소화한다.
  그렇지 않으면 ③항으로 감.
③ 서브시스템 및 시스템의 고장확률을 계산하고 문제점을 찾음.

7)문제점의 개선 및 신뢰성 향상책 강구

6.2.3 고장나무(Fault tree)의 작성

FT는 각종 사상(event)과 그것을 연결하는 논리게이트로써 구성된다.
① 해석하려는 시스템의 최상위고장(top event), 즉 頂上사상(목표사상)을 규정한다.
② 정상사상의 고장상태를 일으킬 수 있는 직접원인"(시스템 수준오류, 원하지 않는 이벤트)",   즉 기계, 설비의 불량상태나 작업자의 에러 등(결함사상)을 규명하고 나열하여 정상사상과의 사이를   논리게이트를 사용하여 나무가지 모양으로 결합시킴.
③ 위 ②의 각 결합사상의 직접원인이 되는 결함사상을 각각 확정한 후,
 ②와의 사이를 논리게이트로 연결한다.
④ ③을 최하위의 고장원인이될때까지순차적으로 반복한다.

FT의 최하위사상은 통상 다음 중의 하나이다.
① 통상 행해지는 작업이나 기계설비의 通常상태 (통상사상)
② 기본적으로볼수있는기계등의고장이나 인간의 에러 (기본사상)
③ 그것 이하는 정보부족으로 분석할 수 없거나 또는 분석을 생략해도 좋은 결함사상 (생략사상)
④ 그것 이하는 이 고장나무(FT)의 다른 부분과 동일해지는 경우로서,
  이것은 다른 부분으로부터의 전이(轉移)로서 취급한다.

6.2.4 고장나무(결함수)의 논리게이트

• 기본적으로 결함사상은 AND게이트와 OR게이트를 사용하여 표시하나, 여러 종류의 논리게이트
 또는 수정기호(modifier)를 사용함으로써 시스템을 더 정확히 또는 간결하게 표현할 수 있음
  (그림 6.6 참조).

• 단, 너무 복잡한 논리게이트를 사용하는 것은 고장나무분석의 특징인 시각에 의한 이해나
  연산의 용이성을 손상시킬 우려가 있으므로 주의하여야 한다.

(1)사상기호

① 직사각형

기호 → 정상사상을 시작으로 하는 결함사상을 나타내는 기호이다(그림 ⓐ)

② 원형기호

기본사상을 나타내는 기호(그림 ⓑ).
 때로는 점선의 원으로 인간동작의 생략 또는 오류를 표시하고(그림 ⓒ),
 사선부분이 포함된 이중원으로 조작자에 의해 결함의 누락이나 시정누락을 표시함(그림 ⓓ).

③ 집형기호

결함사상은 아니고 시스템 내의 상태로서 일어나는 통상사상을 나타내는 기호가 입니다(그림 Ⓔ).

[그림 6.6] 사상기호

마름모형기호

그것 이상은 분석할 수 없거나 또는 분석의 필요가 없는 생략사상을 나타내는 기호(그림 ⓕ).
때로는 점선의 마름모형 그리고 사선이 포함된 이중마름모형을 사용해서 인간의 에러와 조작자에 의한
결함이나 시정누락을 표시함(그림 ⓖ, ⓗ).
또 사선 없는 이중마름모형은 그것보다 앞의 관계가 명확하고 수량적 평가에 의해 고장나무을
간소화할 수 있는 경우에 사용함(그림 ⓘ).

⑤ 삼각형기호

동일한 FT안에 있고 내용이 같은 다른 부분과의 사이에 전이를 표시하는 기호로서,
삼각형 위쪽에 선이 나와 있는 경우는 다른 부분에서의 전입을, 또 아래쪽이나 측방에 선이 나와 있는
경우는 다른 부분으로의 전출을 표시하고 동일한 번호가 붙여짐(그림 ⓙ).

(2)논리게이트

① AND게이트와 OR게이트

[그림 6.7] AND게이트와 OR게이트

② 억제게이트(inhibit gate)

논리적으로는 수정기호(modifier)의 일종으로서 억제 모디파이어(inhibit modifier)라고도 하지만
실질적으로는 수정기호를 병용해서 게이트의 역할을 한다.
입력사상이 수정기호 안의 조건을 만족하면 출력사상이 생기고 만약 조건이 만족되지 않으면
출력은 생기지 않습니다.

③ 부정게이트(not gate)

수정기호의 일종으로서 부정 모디파이어(not modifier)라고도 하며 입력사상의 반대사상이 출력된다.

[그림 6.8] 억제게이트와 부정게이트

(3)조건 게이트

AND게이트 또는 OR게이트 수정기호를 병용함으로써 각종 조건부 게이트를 구성한다.

① 우선적 AND게이트 입력사상 중 어떤 사상이 다른 사상보다 앞에 일어났을 때 출력 사상이 생김.

② 조합 AND게이트 3개 이상 입력사상 중 어느 것이나 2개가 일어나면 출력이 생김.

③ 위험지속기호 입력사상이 생겨 어떤 일정한 시간 동안 지속하였을 때 출력이 생김.
만약 지속되지 않으면 출력은 생기지 않습니다.

④ 배타적 OR게이트 2개 이상의 입력이 존재하는 경우에는 출력이 생기지 않습니다.

[그림 6.9] 수정기호와 조건 게이트

6.2.5 고장확률 계산방법

(1)AND Gate의 경우
① $$ F_{A}=F(B \quad and \quad C)=F(B \cap C)$$
  여기서, B와 C가 서로 독립이면 $$ F_{A}=F_{B}\cdot F_{C} $$
② 혹은 ①과 달리 계산하는 방법으로
\begin{align*} F_{A} & =1-R_{A}=1- \left[1- (1-R_{B})(1-R_{C})\right]\\& =(1-R_{B})(1-R_{C})= F_{B}\cdot F_{C} \end{align*}

③ 한편, n 개의 기본사상의 AND 결합시에는 다음과 같이 된다. $$$ F_{S}=F_{1}\cdot F_{2}\cdot\cdot\cdot\cdot F_{n}=\prod_{i=1}^n F_{i} $$$

[그림 6.10] 병렬계 신뢰성 블록도   [그림 6.11] AND게이트에 의한 FT도

(2)OR Gate의 경우
① $$ F_{A}=F(B \quad or \quad C)=F(B \cup C)$$
(B와 C가 독립사상이면)$$ F_{A}=F_{B}+F_{C} - F_{B}\cdot F_{C} $$
② 위 ①과 다른 방법으로 계산하면
\begin{align*} F_{A} &=1-R_{A}=1- R_{B}\cdot R_{C} \\& =1- (1-F_{B})(1-F_{C}) \\& = F_{B}+F_{C}-F_{B}\cdot F_{C} \end{align*}

③ 한편, n 개의 기본사상의 OR 결합시에는 \begin{align*} F_{S}& =1-(1-F_{1})(1-F_{2})\cdot\cdot\cdot\cdot (1-F_{n}) \\& = 1- \prod_{i=1}^n (1-F_{i}) \end{align*}

[그림 6.12] 직렬계 신뢰성 블록도   [그림 6.13] OR 게이트에 의한 FT도

(3)사상의 고장확률을 구하는 방법 [품기1회]

• 톱 사상 A의 고장확률 FA 를 구하기 위해서는 먼저 하위사상인 B, C의 고장확률를 구하는 것이 중요한 데,
그 중 하나의 예로서 FB 의 고장확률을 구하는 방법은 다음과 같습니다. $$$ R(t)=e^{-\lambda t}= e^{-t / MTBF} \simeq 1-\frac{t}{MTBF} \quad (단, t : 사용시간)(6.96)$$$ 이므로, 사상 B가 고장날 확률 F_B는
$$$ F_{b}=1-R_{b}=1-(1- \frac{t}{MTBF})=\frac{t}{MTBF} \quad (\lt 1)$$$ 여기서, t 는 사용(가동)시간, R_B는 B의 신뢰도이고,
MTBF는 평균고장간격시간(평균수명)으로서 다음과 같습니다. $$$ MTBF=\frac{1}{\lambda}= \frac{총동작시간 (T)}{그 기간 중에 고장 개수 (r)} $$$

(4)MTBF와 시스템이 고장날 확률( F S )와의 상관관계

MTBF와 FS 의 관계는
MTBF(↑)→ R(t)(↑)→ F(t)(↓)→ F_S(↓)의 관계로 된다.

예제 6.16
신뢰성 블록도가 [그림 1]과 같고 사상의 고장날 확률이 주어졌을 때,
시스템의 고장확률을 계산하고, FT도에 고장확률을 나타내어라.

[그림 1] 신뢰성 블록도

시스템의 고장확률은 하위 사상에서 부터 상위사상으로 순차적으로 계산한다. (1)파트 고장확률 (⑨, ⑩) $$$ F_{S1}=1-(1-F_{9})(1-F_{10})=1-(1-0.06)(1-0.04)=0.098 $$$ (2)디바이스 고장확률 (⑧, ⑨, ⑩) $$$ F_{S2}=F_{8}\cdot F_{S1}=0.1\times0.098=0.01 $$$ (3)우측의 서브시스템 고장 확률 $$$ F_{S3}=\left\{1-(1-0.02)(1-0.05)(1-0.03)\right\}\times \left\{1-(1-0.05)(1-0.01)\right\}=0.006 $$$ (4)시스템 고장확률 $$$ F_{S}=1-(1-0.03)(1-0.2\times0.2)(1-0.06)=0.0744 $$$

예제 6.17
X₁~ X₁가 고장날 확률은 각각 0.1, 0.2, 0.4, 0.5 라 할 때 시스템의 신뢰도는 얼마인가?

\begin{align*} & R_{S} =1-F_{S}=1-0.706=0.294 (시스템 신뢰도) \\& F_{S} =F_{Y_{1}}+F_{Y_{2}}-F_{Y_{1}}\cdot F_{Y_{2}} =0.02+0.071-0.02\times0.07= 0.706 \\& F_{Y_{1}} = F_{X_{1}}\cdot F_{X_{2}}=0.1\times0.2=0.02 \\& F_{Y_{2}} =F_{X_{3}}+F_{X_{4}}-F_{X_{3}}\cdot F_{X_{4}} =0.4+0.5+0.4\times0.5=0.7 \\& F_{X_{1}}=0.1, \; F_{X_{2}}=0.2, \; F_{X_{3}}=0.4, \; F_{X_{4}}=0.5 \end{align*}

예제 6.18
첫 번째 [그림 1]과 같은 회로도와 두 번째 [그림 2]와 같은 신뢰성블록도로 표현되는
시스템에 대하여 “모타가 시동안됨”을 정상사상으로 한 FTA를 실시해 보아라
(숫자는 각 요소의 고장 확률이다).

[그림 ] 회로도

[그림 2] 신뢰성 블록도

해설
☞ [그림 2] 신뢰성블록도에 의거 FT도(고장나무)을 작성하면 [그림 3]과 같습니다.

[그림 3] FT도

그리고 “모타가 시동안됨”의 정상(頂上)사상의 고장발생확률을 구하면 다음과 같습니다 \begin{align*} & F_{A} =1-(1-F_{B})(1-F_{E})=1-(1-0.0201)(1-0.0494)=1-0.9315=0.0685 \\& F_{B} =1-(1-F_{C})(1-F_{D})=1-(1-0.02)(1-0.0001)=1-0.9799=0.0201 \\& F_{E} =1-(1-F_{E_{1}})(1-F_{E_{2}})=1-(1-0.02)(1-0.03)=1-0.9506=0.0494 \\& F_{D} =F_{D_{1}}\cdot F_{D_{2}}=0.01\times0.01=0.0001 \end{align*}

6.3 FMEA와 FTA의 차이점 비교에 의한 적절한 선택

• FMEA와 FTA의 적절한 활용 및 선택을 위해 차이점에 대해 요약하면,
① FMEA는 기입용지에 의한 차트(chart)해석법이고 고장나무분석(FTA)은 고장나무에 의한
도식해석법으로서, 해석도구의 모양이 다름.
② FMEA는 부품의 고장으로부터 전체 시스템(또는 제품)의 고장을 예측하고, FTA는 제품의
고장으로부터 고장원인의 부품을 추정하는 방법이다.
즉, FMEA는 상향식, FTA는 하향식으로 상반되게 접근한다.

예제 6.19 FMEA(또는 FMECA)와 FTA의 차이점을 비교하라.